Question

如题（21）图，椭圆（>>0）的左右焦点分别为,,且过的直线交椭圆于P,Q两点，且PQ.

若||=2+，||=2-，求椭圆的标准方程.

若|PQ|=||，且，试确定椭圆离心率的取值范围.

Answer 1

(1)由椭圆的定义，

设椭圆的半焦距为c，由已知，因此

即

从而

故所求椭圆的标准方程为.

(2)如题(21)图，由,得

由椭圆的定义，,进而

于是.

解得，故.

由勾股定理得,

从而,

两边除以，得,

若记，则上式变成.

由，并注意到关于的单调性，得，即，进而，即.