Question

3．设x＞0，y＞0，且$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y+1}$=2，则2x+y的最小值为3．

Answer 1

分析 2x+y=2x+y+1-1=（2x+y+1）•$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y+1}$）-1=$\frac{1}{2}$（2+2+$\frac{4x}{y+1}$+$\frac{y+1}{x}$）-1，利用基本不等式可得．

解答 解：∵$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y+1}$=2，
∴2x+y=2x+y+1-1=（2x+y+1）•$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y+1}$）-1=$\frac{1}{2}$（2+2+$\frac{4x}{y+1}$+$\frac{y+1}{x}$）-1≥2-1+$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{\frac{4x}{y+1}•\frac{y+1}{x}}$=1+2=3，
当且仅当x=1，y=1时取等号，
故2x+y的最小值为3，
故答案为：3．

点评 本题考查基本不等式求最值，“1”的整体代换是解决问题的关键，属中档题．