Question

20．设函数f（x）=lnx-ax²（a∈R）．
（1）若函数f（x）有极大值为-$\frac{1}{2}$，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若有f（m）=f（n），m＜n，证明：m+n＞4a．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最大值，从而求出a的值即可；
（2）构造函数g（x）=f（x）-f（2-x），0＜x≤1，根据函数的单调性得到f（m）＜f（2-m），又f（m）=f（n），得到f（n）＜f（2-m），从而证出结论即可．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-ax²，x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1-2{ax}^{2}}{x}$，
a≤0时，f′（x）＞0恒成立，
函数f（x）在（0，+∞）递增，无极大值，
a＞0时，f′（x）＞0，0＜x＜$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，
由f′（x）＜0，得：x＞$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，由f′（x）＞0，得：0＜x＜$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）递增，在（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，+∞）递减，
∴f（x）的极大值是f（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）=-$\frac{1}{2}$ln2a-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$，解得：a=$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）得：f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²在（0，1]递增，在（1，+∞）递减，
构造函数g（x）=f（x）-f（2-x），0＜x≤1，
g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²-[ln（2-x）-$\frac{1}{2}$（2-x）²]，
则g′（x）=$\frac{{2（x-1）}^{2}}{x（2-x）}$≥0，
故函数g（x）在（0，1]递增，
又f（m）=f（n），m＜n，
∴0＜m＜1，n＞1，
∵g（1）=f（1）-f（2-1）=0，
∴g（m）＜g（1）=0，
即f（m）-f（2-m）＜0，
∴f（m）＜f（2-m），
又f（m）=f（n），∴f（n）＜f（2-m），
∵n＞1，2-m＞1，函数f（x）在（1，+∞）递减，
∴n＞2-m，即m+n＞2=4a．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，不等式的证明，是一道中档题．