Question

7．已知集合A={x|1≤x＜6}，B={x|5＜x＜10}，C={x|ax+1＞0}．
（Ⅰ）求A∪B，（∁_RA）∩B；
（Ⅱ）若A∩C=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据集合的基本运算即可求A∪B，（∁_RA）∩B；
（Ⅱ）根据A∩C=A，建立条件关系即可求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵集合A={x|1≤x＜6}，
则∁_RA={x|x＜1或x≥6}
∵B={x|5＜x＜10}，
则A∪B={x|1≤x＜10}，
（∁_RA）∩B={x|10＞x≥6}
（Ⅱ）C={x|ax+1＞0}．
∵A∩C=A，
∴A⊆C，
当C=∅时，即ax+1＞0无解，此时a=0，满足题意
当C≠∅时，即ax+1＞0有解，①当a＞0，可得：$x＞-\frac{1}{a}$，
要使C⊆A，则需$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-\frac{1}{a}＜1}\end{array}\right.$，解得：a＞0．
②当a＜0，可得：$x＜-\frac{1}{a}$，
要使C⊆A，则需$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{-\frac{1}{a}≥6}\end{array}\right.$，解得：$-\frac{1}{6}≤a＜0$
综上实数a的取值范围为[$-\frac{1}{6}，+∞$）．

点评 本题主要考查集合的基本运算和讨论的思想．属于中档题．