Question

18．过点（2，0）引直线l与圆x²+y²=2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积取最大值时，直线l的斜率为±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，圆心O（0，0）到直线直线l的距离为1，由此能求出直线l的斜率．

解答 解：当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，
∵圆x²+y²=2相交于A，B两点，O为坐标原点，
∴圆心O（0，0），半径r=$\sqrt{2}$，
∴OA=OB=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{2+2}$=2，
∴圆心O（0，0）到直线直线l的距离为1，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，不合题意；
当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y=k（x-2），
圆心（0，0）到直线l的距离d=$\frac{|-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考查了直线与圆的位置关系及其三角形面积的计算，属于中档试题，着重考查了数形结合思想及转化与化归思想的应用，在与圆有关的问题解答中，特别注意借助图形转化为与圆心的关系，是解答的一种常见方法，本题的解答当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，此时圆心O到直线的距离为1是解答本题的关键．