Question

设a>b>c，且a，b，c满足等式a+b+c=1，a²+b²+c²=1。 求证：(1)1<a+b<  (2)<a²+b²<1。

Answer 1

答案：
解析：

证明：（1）令a－c=A，b－c=B，由a>b>c，得A>B>0。 A+B=(a－c)+(b－c)=(a+b+c)－3c=1－3c。  又(a+b+c)2－(a2+b2+c2)=2(ab+bc+ca)=0 ∴ab=－c(a+b)=－c(1－c)=c2－c。  ∴AB=(a－c)(b－c)=ab－c(a+b)+c2=3c2－2c。  从而，A，B是方程t2－(1－3c)t+(3c2－2c)=0的两个不相等的正根，则其充要条件是 于是，有－<c<0，从而1<1－c<，即1<a+b<。 （2）再由0<c2<，得0<1－(a2+b2)<，从而<a2+b2<1。 故有：(1)1<a+b<  (2) <a2+b2<1。