Question

7．定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=2015^x+log₂₀₁₅x，则在R上，函数f（x）零点的个数为3．

Answer 1

分析 令2015^x+log₂₀₁₅x=0，利用函数图象的交点个数判断f（x）在（0，+∞）上的零点个数，利用奇函数的性质得出f（x）在（-∞，0）上的零点个数，结合f（0）=0得出答案．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，即x=0为f（x）的一个零点．
当x＞0时，令f（x）=2015^x+log₂₀₁₅x=0，则2015^x=-log₂₀₁₅x=log${\;}_{\frac{1}{2015}}$x，
做出y=2015^x和y=log${\;}_{\frac{1}{2015}}$x的函数图象，

由图象可得2015^x=log${\;}_{\frac{1}{2015}}$x有一解，即f（x）在（0，+∞）上有一个零点，
∵f（x）是奇函数，
∴f（x）在（-∞，0）上有一解．
综上，f（x）在R上共有3个零点．
故答案为：3．

点评 本题考查了函数的零点与函数图象的关系，奇函数的性质，属于中档题．