Question

8．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，-1），B点在直线y=-3上，M点满足$\overrightarrow{MB}∥\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{BA}$，求M点的轨迹方程．

Answer 1

分析 设M（x，y），得出B（x，-3），化简$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{BA}$，列方程化简即可．

解答 解：设M（x，y），∵$\overrightarrow{MB}∥\overrightarrow{OA}$，Bz在直线y=-3上，∴B（x，-3）．
∴$\overrightarrow{MA}$=（-x，-1-y），$\overrightarrow{MB}$=（0，-3-y），$\overrightarrow{AB}$=（x，-2）．
∵$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{BA}$，∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{AB}$=0，即（$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$）•$\overrightarrow{AB}$=0，
∵$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$=（-x，-4-2y），
∴（$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$）$•\overrightarrow{AB}$=-x²+2（4+2y）=0，
化简得：$y=\frac{1}{4}{x^2}-2$．
∴M点的轨迹方程为y=$\frac{1}{4}$x²-2．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，轨迹方程的求解，属于中档题．