Question

15．曲线C：f（x）=x³-2ax+4a，若过曲线C外一点A（2，0）引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为（　　）

• A． $\frac{27}{4}$
• B． -$\frac{27}{4}$
• C． $\frac{27}{8}$
• D． -$\frac{27}{8}$

Answer 1

分析 求出函数的导数，设出切点，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，代入（2，0），可得切点和切线的斜率，再由倾斜角互补可得斜率之和为0，解得a的值．

解答 解：f（x）=x³-2ax+4a的导数为f′（x）=3x²-2a，
设切点为（m，n），即有切线的斜率为k=3m²-2a，
可得切线的方程为y-（m³-2am+4a）=（3m²-2a）（x-m），
代入（2，0），可得-m³+2am-4a=（3m²-2a）（2-m），
解得m=0或3，
则切线的斜率为-2a，27-2a，
由它们的倾斜角互补，可得斜率之和为0，
可得27-4a=0，解得a=$\frac{27}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于中档题．