Question

19．已知△ABC的三边AB，BC，AC的长依次成等差数列，且|AB|＞|AC|，B（-1，0）C（1，0）则顶A的轨迹方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{{{4^{\;}}}}+\frac{y^2}{3}=1$
• B． $\frac{x^2}{{{4^{\;}}}}+\frac{y^2}{3}=1$（x＜0）
• C． $\frac{y^2}{{{4^{\;}}}}+\frac{x^2}{3}=1$
• D． $\frac{x^2}{{{4^{\;}}}}+\frac{y^2}{3}=1$（x＞0）

Answer 1

分析 通过等差数列推出，|AB|+|AC|=2|BC|=4 按照椭圆的定义，点A的轨迹就是以B、C为焦点，到B、C距离之和为4的椭圆，从而进一步可求椭圆的方程．

解答 解：已知AB、BC、CA成等差数列，则：|AB|+|AC|=2|BC|
∵点B（-1，0），C（1，0），∴|BC|=2
所以，|AB|+|AC|=2|BC|=4
按照椭圆的定义，点A的轨迹就是以B、C为焦点，到B、C距离之和为4的椭圆
由已知有：c=1，a=2
所以，b²=a²-c²=4-1=3
又已知|AB|＞|AC|
所以点A位于上述椭圆的右半部分，且点A不能与B、C在同一直线（x轴）上（否则就不能构成三角形）
所以，点A的轨迹方程是：$\frac{x^2}{{{4^{\;}}}}+\frac{y^2}{3}=1$（x＞0），
故选D．

点评 本题是中档题，考查椭圆的定义，等差数列的应用，正确运用椭圆的定义是解题的关键，同时应注意变量的范围．