Question

1．如图，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，PA=AB=BC，AD=2AB，点M，N分别在PB，PC上，且MN∥BC．
（Ⅰ）证明：平面AMN⊥平面PBA；
（Ⅱ）若M为PB的中点，且PA=1，求点D到平面AMC的距离．

Answer 1

分析 （1）由MN∥BC，BC∥AD，得MN∥AD．由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AD．结合AD⊥AB，PA∩AB=A，得AD⊥平面PBA，即可证得MN⊥平面PBA，又MN?平面AMN，即可证得结论；
（2）由几何关系进行计算，运用等体积法是解题的关键．

解答 （Ⅰ）证明：∵MN∥BC，BC∥AD，∴MN∥AD，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AD，
又∵AD⊥AB，PA∩AB=A，
∴AD⊥平面PBA，
∴MN⊥平面PBA，
又∵MN?平面AMN，
∴平面AMN⊥平面PBA．　　　　　　…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD⊥平面PBA，又∵BC∥AD，
∴BC⊥平面PBA，∴BC⊥BM，
∵M为PB的中点，
∴在Rt△MBC中，$MB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，BC=1，
∴$MC=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
由题意可得$AM=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$AC=\sqrt{2}$，
∴AM²+AC²=MC²，
∴△AMC是直角三角形设点D到平面AMC的距离为h，
∵V_M-ADC=V_D-AMC，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{{\sqrt{6}}}{2}×h$，
∴$h=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$…（12分）

点评 本题考查学生的推理论证能力，考查学生的计算能力，属于中档题．