Question

2．已知△ABC的面积为1，tanB=$\frac{1}{2}$，tanC=-2，求△ABC的边长及tanA．

Answer 1

分析 利用诱导公式、两角和的正切公式求得tanA的值．再利用同角三角函数的基本关系，求得角B、C的正弦值和余弦值，可得A的正弦值和余弦值，再利用正弦定理以及△ABC的面积为1，求得各边长．

解答 解：∵△ABC的面积为1，tanB=$\frac{1}{2}$，tanC=-2，
∴tanA=-tan（B+C）=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=$\frac{3}{4}$．
∵tanB=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{1}{2}$，可得B为锐角，
∴cosB=$\sqrt{\frac{1}{1{+tan}^{2}B}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinB=$\sqrt{{1-cos}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
由tanC=-2，可得C为钝角，同理求得cosC=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{\sqrt{5}}{5}•（-\frac{\sqrt{5}}{5}）$+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{3}{5}$．
再根据△ABC的面积为$\frac{1}{2}$ab•sinC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$ab=1，
以及$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，即 $\frac{a}{\frac{3}{5}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{c}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$，
求得a=$\sqrt{3}$，b=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，c=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$．

点评 本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式的应用，正弦定理，属于中档题．