Question

11．求x+3x²+5x³+…+（2n-1）xⁿ的和．

Answer 1

分析 对x分类讨论，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：x=0，S_n=0．
x=1时，S_n=1+3+…+（2n-1）=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
当x≠0，1时，S_n=x+3x²+5x³+…+（2n-1）xⁿ．
xS_n=x²+3x³+…+（2n-3）xⁿ+（2n-1）xⁿ⁺¹，
∴（1-x）S_n=x+2[x²+x³+…+xⁿ-（2n-1）xⁿ⁺¹]=$2[\frac{x（1-{x}^{n}）}{1-x}-（2n-1）{x}^{n+1}]$-x=$\frac{2x-[2n+1-x（2n-1）]{x}^{n+1}}{1-x}$-x，
∴S_n=$\frac{x+{x}^{2}-[2n+1-x（2n-1）]{x}^{n+1}}{（1-x）^{2}}$．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}，x=1}\\{\frac{x+{x}^{2}-[2n+1-x（2n-1）]{x}^{n+1}}{（1-x）^{2}}，x≠1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了“错位相减法”与等比数列的前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．