Question

9．如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交线段BC于点E，BE=3AD．
（1）求证：AB=3AC； 
（2）当AC=4，AD=3时，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）证明△BDE∽△BCA，则$\frac{BE}{BA}=\frac{DE}{CA}$，利用三角形的角平分线的性质，结合条件，得出AB=3AC； 
（2）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，所以BC=12，EC=BC-BE=3，证明DE∥AC，在等腰梯形ACED中，求得CD的长．

解答 （1）证明：因为四边形ACED为圆内接四边形，所以∠BDE=∠BCA，
又∠DBE=∠CBA，所以△BDE∽△BCA，则$\frac{BE}{BA}=\frac{DE}{CA}$，
在圆内接四边形ACED中，CD是∠ACE的平分线，
所以DE=AD，$\frac{BE}{BA}=\frac{AD}{CA}$，
而BE=3AD，所以BA=3CA，即AB=3AC．
（2）解：由（1）得AB=3AC=12，而AD=3，所以DE=3，BD=9，BE=3AD=9，
根据割线定理得BD•BA=BE•BC，所以BC=12，EC=BC-BE=3，
在圆内接四边形ACED中，由于AD=EC，所以∠ACD=∠EDC，DE∥AC，
在等腰梯形ACED中，求得$CD=\sqrt{21}$．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查角平分线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．