Question

8．已知复数z，|z|=$\sqrt{2}$且z+$\overline{z}$=2为实数．
（1）求复数z；
（2）z为实系数一元二次方程ax²+bx+c=0的根，试求这个方程．

Answer 1

分析 （1）设出复数z，利用方程化简求解即可．
（2）利用实系数方程虚根成对，以及韦达定理求解即可．

解答 解：（1）复数z，|z|=$\sqrt{2}$且z+$\overline{z}$=2为实数，设z=a+bi，
可得a²+b²=2，2a=2，解得a=1，b=±1．
（2）z为实系数一元二次方程ax²+bx+c=0的根，
可得1+i+1-i=-$\frac{b}{a}$，
（1+i）（1-i）=$\frac{c}{a}$．
所以$\frac{b}{a}=-2$，$\frac{c}{a}$=2．
这个方程为：x²-2x+2=0．

点评 本题考查复数的基本运算，考查计算能力．