Question

10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c•cosB=a+$\frac{1}{2}$b，△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{12}$c，则边c的最小值为1．

Answer 1

分析 由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC，进而可求C，根据△ABC的面积公式和已知，求得c=3ab．再由余弦定理化简可得9a²b²=a²+b²+ab≥3ab，由此求得c的最小值．

解答 解：在△ABC中，由条件里用正弦定理可得sinCcosB=sinA+$\frac{1}{2}$sinB=sin（B+C）+$\frac{1}{2}$sinB，
即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，
∴2sinBcosC+sinB=0，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$，C=$\frac{2π}{3}$．
由于△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$ab•sinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=$\frac{\sqrt{3}}{12}$c，
∴c=3ab．
再由余弦定理可得c²=a²+b²-2ab•cosC，整理可得：9a²b²=a²+b²+ab≥3ab，
当且仅当a=b时，取等号，
∴ab≥$\frac{1}{3}$，可得：c=3ab≥1，即边c的最小值为1．
故答案为：1．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，诱导公式、两角和的正弦公式、基本不等式的应用，属于基础题．