Question

9．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=$\sqrt{2}$，CC₁=1，M为线段AB的中点．
（1）求异面直线DD₁ 与MC₁所成的角；
（2）求直线MC₁与平面BB₁C₁C所成的角；
（3）求三棱锥C-MC₁D₁的体积．

Answer 1

分析 （1）说明∠MC₁C就是异面直线DD₁ 与MC₁所成的角，连接MC，在△C₁MC中求解即可．
（2）连接BC₁，说明∠MC₁B为直线MC₁与平面BB₁C₁C所成的角，由△MC₁B为Rt△．求解即可．
（3）利用等体积转化，即可求三棱锥C-MC₁D₁的体积．

解答 解：（1）因为C₁C∥D₁D，
所以∠MC₁C就是异面直线DD₁ 与MC₁所成的角，…（2分）
连接MC，则△C₁MC为Rt△，得MC=$\sqrt{3}$，MC₁=2，
所以∠MC₁C=60^○．
即异面直线DD₁ 与MC₁所成的角为60°；…（4分）
（2）因为MB⊥平面B₁C₁CB，连接BC₁，则∠MC₁B为直线MC₁与平面BB₁C₁C所成的角，…（6分）
由△MC₁B为Rt△，得BC₁=$\sqrt{3}$，MC₁=2，所以∠MC₁B=30^○，
即直线MC₁与平面BB₁C₁C所成的角为30⁰；…（8分）
（3）${V_{C-M{C_1}{D_1}}}={V_{M-C{C_1}{D_1}}}=\frac{1}{3}×{S_{△C{C_1}{D_1}}}×BC=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×\sqrt{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$．…..（12分）

点评 本题考查直线与平面所成角，异面直线所成角的求法，考查三棱锥体积的计算，考查空间想象能力以及计算能力．