Question

3．已知等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S₃=0，S₅=-5
（1）求{a_n}的通项公式
（2）求数列{（2-a_n）2ⁿ} 的前n项和．

Answer 1

分析 （1）设{a_n}的公差为d，由S₃=0，S₅=-5可求得a₁=1，d=1，从而可求{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=（2-a_n）2ⁿ=n•2ⁿ，T_n=b₁+b₂+…+b_n-1+b_n=1•2¹+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，利用错位相减法求和可得数列{（2-a_n）2ⁿ} 的前n项和．

解答 解：（1）设{a_n}的公差为d，则S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}d$---------（1分）
由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{{3a}_{1}+3d=0}\\{{5a}_{1}+10d=-5}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=1．---------（4分）
故{a_n}的通项公式为a_n=2-n．----------（6分）
（2）令b_n=（2-a_n）2ⁿ=n•2ⁿ．
令T_n=b₁+b₂+…+b_n-1+b_n=1•2¹+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ-----（7分）
有2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹．-----（8分）
两式相减得：
-T_n=2¹+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1{-2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=-2+（1-n）•2ⁿ⁺¹-----（10分）
则T_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹----------（12分）

点评 本题考查数列的求和，考查等差数列的通项公式的应用，突出考查错位相减法求和的运用，属于中档题．