Question

16．已知函数f（x）=alnx+（x+1）²，若图象上存在两个不同的点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＞x₂），使得f（x₁）-f（x₂）≤4（x₁-x₂）成立，则实数a的取值范围为（-∞，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 先求导数f′（x）=$\frac{a}{x}$+2（x+1），根据条件可得到 $\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$≤4，从而根据导数的定义便可得到$\frac{a}{x}$+2（x+1）≤4，这样便可得到存在a≤-2x²+2x，容易求出二次函数y=-2x²+2x在（0，+∞）上的最大值，从而便可得出实数a的取值范围．

解答 解：f′（x）=$\frac{a}{x}$+2（x+1）；
∵x₁＞x₂；
∴x₁-x₂＞0；
∴由f（x₁）-f（x₂）≤4（x₁-x₂），
得：$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$≤4；
∴$\frac{a}{x}$+2（x+1）≤4；
问题转化为存在a≤-2x²+2x成立；
∵-2x²+2x=-2（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$；
∴a≤$\frac{1}{2}$；
∴实数a的取值范围为（-∞，$\frac{1}{2}$]．
故答案为：（-∞，$\frac{1}{2}$]．

点评 考查函数导数的定义，配方法求二次函数的最值，以及关于恒成立问题的处理方法，要正确求导．