Question

18．已知正项数列{a_n}中，a₂=6，且$\frac{1}{{{a_1}+1}}$，$\frac{1}{{{a_2}+2}}$，$\frac{1}{{{a_3}+3}}$成等差数列，则a₁a₃的最小值为$19+8\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 令x=a₁+1，y=a₃+3，可得：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}$，即xy=4（x+y），代入利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：令x=a₁+1，y=a₃+3，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}$，即xy=4（x+y），
∴a₁a₃=（x-1）（y-3）=xy-3x-y+3=x+3y+3，
又$x+3y=4（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}）（x+3y）=4（4+\frac{3y}{x}+\frac{x}{y}）≥16+8\sqrt{3}$，
∴${a_1}{a_3}≥19+8\sqrt{3}$．（当且仅当$\frac{3y}{x}=\frac{x}{y}$时，取“=”）．
故答案为：$19+8\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．