Question

12．三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是$\frac{\sqrt{2}}{2}$、$\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\frac{\sqrt{6}}{2}$，则该三棱锥的外接球的体积是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$π
• B． $\frac{8\sqrt{2}}{3}$π
• C． $\sqrt{6}$π
• D． 8$\sqrt{6}$π

Answer 1

分析 三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的体积．

解答 解：三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，
它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，
设PA=a，PB=b，PC=c，
则$\frac{1}{2}$ab=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$bc=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$ca=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
解得，a=$\sqrt{2}$，b=1，c=$\sqrt{3}$．
则长方体的对角线的长为$\sqrt{6}$．
所以球的直径是$\sqrt{6}$，半径长R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
则球的表面积S=$\frac{4}{3}$πR³=$\sqrt{6}$π，
故选：C．

点评 本题考查球的体积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．将三棱锥扩展为长方体是本题的关键．