Question

19．已知矩形ABCD的边长AB=1，两条相互垂直的线段把该矩形分成四个小矩形，要求其中一个小矩形面积不小于2，另外三个小矩形的面积均不小于1，则矩形的边AD长度的最小值为5．

Answer 1

分析 如图所示，AB=1．不妨设BF=a，BN=b，AD=x，0＜a＜1，0＜b＜x．由题意可得：ab≥2，（1-a）b≥1，（1-a）（x-b）≥1，a（x-b）≥1．于是b≥3，x≥b+$\frac{1}{1-a}$，x≥b+$\frac{1}{a}$，即可得出答案．

解答 解：如图所示，AB=1．
不妨设BF=a，BN=b，AD=x，0＜a＜1，0＜b＜x．
由题意可得：ab≥2，（1-a）b≥1，（1-a）（x-b）≥1，a（x-b）≥1．
∴b≥3，x≥b+$\frac{1}{1-a}$，x≥b+$\frac{1}{a}$，
由$\frac{1}{1-a}$=$\frac{1}{a}$，解得a=$\frac{1}{2}$．
∴当b=3，a=$\frac{1}{2}$时，x取得最小值5．
故答案为：5．

点评 本题考查了矩形的面积、不等式的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．