Question

11．曲线$\frac{{x}^{2}}{n}$-y²=1（n＞1）的两焦点为F₁，F₂，点P在双曲线上，且满足PF₁+PF₂=2$\sqrt{n+2}$，则△PF₁F₂的面积为1．

Answer 1

分析 设F₁、F₂是双曲线的左右焦点，然后得到两个关于|PF₁|与|PF₂|的等式，然后分别求解，最后得出|PF₁||PF₂|=2，解出结果．

解答 解：不妨设F₁、F₂是双曲线的左右焦点，
P为右支上一点，
|PF₁|-|PF₂|=2$\sqrt{n}$①
|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{n+2}$②，
由①②解得：
|PF₁|=$\sqrt{n+2}$+$\sqrt{n}$，|PF₂|=$\sqrt{n+2}$-$\sqrt{n}$，
得：|PF₁|²+|PF₂|²=4n+4=|F₁F₂|²，
∴PF₁⊥PF₂，
又由①②分别平方后作差得：
|PF₁||PF₂|=2，
则△PF₁F₂的面积为S=$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|=$\frac{1}{2}×2$=1，
故答案为：1

点评 本题考查双曲线的应用，通过设出双曲线的焦点，建立等式，并求解，本题考查了学生对双曲线知识的熟练灵活应用，属于中档题．