Question

20．已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosθ}\\{y=-4+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据参数方程和极坐标方程与普通方程的关系进行转化求解即可．
（Ⅱ）求出圆心坐标以及圆心到直线的距离，结合四边形的面积公式进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosθ}\\{y=-4+2sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
所以圆C的普通方程为（x-3）²+（y+4）²=4．…（2分）
由$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=\sqrt{2}$得ρcosθ+ρsinθ=2，
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴直线l的直角坐标方程x+y-2=0…（4分）
（Ⅱ）圆心C（3，-4）到直线l：x+y-2=0的距离为d=$\frac{|3-4-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$           …（6分）
由于M是直线l上任意一点，则|MC|≥d=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴四边形AMBC面积S=2×$\frac{1}{2}$AC•MA=AC$•\sqrt{C{M}^{2}-A{C}^{2}}$=2$\sqrt{M{C}^{2}-4}$≥2$\sqrt{{d}^{2}-4}=\sqrt{2}$
∴四边形AMBC面积的最小值为$\sqrt{2}$      …（10分）

点评 本题主要考查参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，考查学生的运算和转化能力．