Question

设数列{a_n}的各项都是正数，a₁=1，

an+1

an+1+1

=

an+1

2an

，b_n=a_n²+a_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：

1

(1+a1)a2

+

1

(1+a2)a3

+…+

1

(1+an)an+1

＜1．

Answer 1

分析：（1）利用数列{b_n}与数列{a_n}的关系得出数列{b_n}相邻项之间的关系是解决本题的关键，常常要转化为特殊数列问题，要注意特殊数列的相关公式的运用；
（2）利用（1）中求得的b_n的通项公式，通过方程思想解出数列{a_n}的通项公式；
（3）根据数列{a_n}的单调性寻找所证和式中的每一项与特殊数列的关系是解决本题的关键，通过放缩转化为特殊数列求和从而达到证明该不等式的目的．

解答：解：（1）由条件得：a_n+1²+a_n+1=2（a_n²+a_n）∴b_n+1=2b_n．
∵b₁=a₁²+a₁=2∴

bn+1

bn

=2∴{b_n}为等比数列∴b_n=2ⁿ．
（2）由a_n²+a_n=2ⁿ得an=

-1+ 1+2n+2

2

又a_n＞0∴an=

1+2n+2 -1

2

．
（3）证明：∵an+1-an=

1

2

(

1+2n+3

-

1+2n+2

)
=

1

2

(2n+3-2n+2)/(

1+2n+3

+

1+2n+2

)＞0
∴{a_n}为递增数列．
∴a_n²+a_n=（1+a_n）a_n＜（1+a_n）a_n+1
从而

1

(1+an)an+1

＜

1

2n

∴

1

(1+a1)a2

+

1

(1+a2)a3

+…+

1

(1+an)an+1

＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=1-(

1

2

)n＜1．

点评：本题考查数列的递推关系与数列通项公式的联系，考查学生通过递推关系证明数列为特殊数列的方法，考查学生的转化与化归能力，方程思想、数列单调性的判断和运用，放缩法证明不等式等方法和技巧．