Question

已知椭圆C : 上点到两焦点的距离和为，短轴长为，直线l与椭圆C交于M、 N两点.

（Ⅰ）求椭圆C方程；

（Ⅱ）若直线MN与圆O :相切，证明：为定值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求的取值范围．

 

Answer 1

（1）；（2）;(3)．

【解析】

试题分析：(1)利用椭圆的定义进行求解；（2）利用圆心到直线的距离，求出直线的斜率与截距的关系，再利用平面向量的数量积求证角为定值；（3）利用三角换元进行求解.

试题解析：（Ⅰ）由椭圆C: 上点到两焦点的距离和为，

得2a=，即 ；由短轴长为，得2b=，即

所以椭圆C方程：

（Ⅱ）当直线MN轴时，因为直线MN与圆O:相切，所以直线MN方程：x=或x=-，当直线方程为x=，得两点分别为（，）和（，-），故=0，可证=；同理可证当x=-，=；

当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN：y=kx+b，直线MN与圆O:的交点M，N

由直线MN与圆O相切得：d=，即25 ①;

联立y=kx+b，，得，

因此，=-，=；

由=+=+

=（1+k）+kb（）+b= ②；

由①②得=0，即=；

综上=（定值）.

（Ⅲ）不妨设，则，

由三角函数定义可知:M（cos，sin），N（sin，cos）

因为点M、N都在上，

所以=， =

=

=（）（）

=916+（9-16）2

=916+（9-16），

又[0，1]，故（）[916，（）]

因此 [].

考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系；3.直线与椭圆的位置关系.