Question

已知函数为自然对数的底数）．

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）若是的一个极值点，且点，满足条件：.

（ⅰ）求的值；

（ⅱ）求证：点，，是三个不同的点，且构成直角三角形．

 

Answer 1

（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）参考解析

【解析】

试题分析：（1）由函数，求函数的导数，并计算即所求切线方程的斜率，又过点.即可求出结论.

（2）（ⅰ）由（1）得到的函数的导数，即可求出函数的单调区间，从而得到函数的极值点，即得到的值.

（ⅱ）需求证：点，，是三个不同的点，通过分类每两个点重合，利用已知条件即方程的根的个数来判定即可得到三点是不同点的点.通过向量的数量积可得到三点可构成直角三角形.

（1）， 2分

，又， 4分

所以曲线在处的切线方程为，

即． 5分

（2）（ⅰ）对于，定义域为．

当时，，，∴；

当时，；

当时，，，∴， 8分

所以存在唯一的极值点，∴，则点为． 9分

（ⅱ）若，则，，

与条件不符，从而得．

同理可得． 10分

若，由，此方程无实数解，

从而得． 11分

由上可得点，，两两不重合．

又

从而，点，，可构成直角三角形． 14分

考点：1.导数的几何意义.2.函数的极值.3.分类讨论的数学思想.4.向量的数量积.5.运算能力.