Question

14．已知点P（2，1）是抛物线上x²=4y上的一点，点M，N是抛物线上的动点（M，N，P三点不共线），直线PM，PN分别交y轴于A，B两点，且|PA|=|PB|，则直线MN的斜率为-1．

Answer 1

分析 由题意可知k_PA+k_PB=0，根据直线的斜率公式即可求得x₁+x₂=-4，则k_MN=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，代入即可求得直线MN的斜率．

解答 解：由|PA|=|PB|，则PA，PB的倾斜角互补，即k_PA+k_PB=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=0，即$\frac{\frac{{x}_{1}^{2}}{4}-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{\frac{{x}_{2}^{2}}{4}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{x}_{1}+2}{4}$+$\frac{{x}_{2}+2}{4}$=0，
∴x₁+x₂=-4，
∴k_MN=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{\frac{{x}_{1}^{2}}{4}-\frac{{x}_{2}^{2}}{4}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$=-1，
∴直线MN的斜率为-1，
故答案为：-1．

点评 本题考查直线的斜率公式，抛物线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于中档题．