题目内容
18．《庄子•天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．反映这个命题本质的式子是（ ）| A． | 1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n}}$ | B． | 1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$+…＜2 | ||
| C． | $\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1 | D． | $\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1 |
分析 根据已知可得每次截取的长度构造一个以$\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，但累加和小于1，进而得到答案．
解答 解：根据已知可得每次截取的长度构造一个以$\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∵$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1，
故反映这个命题本质的式子是$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$＜1，
故选：D
点评 本题考查的知识点是等比数列的前n项和公式，数列的应用，难度中档．
练习册系列答案
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8．根据历年统计资料，我国东部沿海某地区60岁以上的老年人占20%，在一个人是60周岁以上的条件下，其患高血压的概率为45%，则该地区一个人既是60周岁以上又患高血压的概率是（ ）
| A． | 45% | B． | 25% | C． | 9% | D． | 65% |
6．
甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙的体积分别为V1、V2，则V1：V2等于（ ）
甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙的体积分别为V1、V2，则V1：V2等于（ ）| A． | 1：4 | B． | 1：3 | C． | 2：3 | D． | 1：π |
13．
某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且做了一定的数据处理（如表），做出了散点图（如图）．
表中wi=$\frac{1}{x_i^2}，\overline w=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}{w_i}$．
（1）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+$\frac{d}{x^2}$哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋转角x的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）若旋转角x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3），…，（un，vn），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{v}_{i}-\overline{v}）（{u}_{i}-\overline{u}）}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）^{2}}$，$\widehat{α}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{u}$．
某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且做了一定的数据处理（如表），做出了散点图（如图）．| $\overline x$ | $\overline y$ | $\overline w$ | $\sum_{i=1}^{10}{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}$ | $\sum_{i=1}^{10}{{{（{w_i}-\overline w）}^2}}$ | $\sum_{i=1}^{10}{（{x_i}-\overline x）}（{y_i}-\overline y）$ | $\sum_{i=1}^{10}{（{w_i}-\overline w）}（{y_i}-\overline y）$ |
| 1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
（1）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+$\frac{d}{x^2}$哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋转角x的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）若旋转角x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3），…，（un，vn），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{v}_{i}-\overline{v}）（{u}_{i}-\overline{u}）}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）^{2}}$，$\widehat{α}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{u}$．