Question

18．求y=$\sqrt{1+x}$+2$\sqrt{1-x}$的值域．

Answer 1

分析 先确定定义域，再求导，由导函数的正负得到原函数的单调性，由单调性得到最大最小值，从而得到值域．

解答 解：∵y=$\sqrt{1+x}$+2$\sqrt{1-x}$，
∴函数的定义域为：[-1，1]，
y′=$\frac{1}{2\sqrt{1+x}}$-$\frac{1}{\sqrt{1-x}}$=$\frac{\sqrt{1-x}-2\sqrt{1+x}}{2\sqrt{1-{x}^{2}}}$，
令y′=0，
得x=-$\frac{3}{5}$，
∴y在[-1，-$\frac{3}{5}$）是单调递增的，在（-$\frac{3}{5}$，1]是单调递减的．
∴y的最大值在x=-$\frac{3}{5}$处取得，为$\sqrt{10}$
y有最小值为$\sqrt{2}$，在x=1处取得，
∴函数y=$\sqrt{1+x}$+2$\sqrt{1-x}$的值域为[$\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$]．

点评 本题考查确定定义域以及由导函数确定单调性，从单调性里面找到最大最小值．