Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若, 求证为定值.

 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）-10.

【解析】

试题分析：（1）设出椭圆的方程，把抛物线方程整理成标准方程，求得焦点的坐标，进而求得椭圆的一个顶点，即b，利用离心率求得a和c关系进而求得a，则椭圆的方程可得．

（2）先根据椭圆的方程求得右焦点，设出A，B，M的坐标设出直线l的方程代入椭圆方程整理后利用韦达定理表示出和，进而根据和利用题设条件求得和的表达式，进而求得．

试题解析： 解析：（Ⅰ）根据题意得：，

解得，所以椭圆C的方程为：.

（Ⅱ）椭圆C的右焦点F（2,0）,根据题意可设：，则M（0，-2k）,

令，由得：

所以且，由得

所以，所以.

 

考点：1.直线与圆锥曲线的综合问题；2.椭圆的标准方程．