Question

18．设e为自然对数的底数，若函数f（x）=e^x（2-e^x）+（a+2）•|e^x-1|-a²存在三个零点，则实数a的取值范围是（1，2]．

Answer 1

分析 利用换元法，可得f（m）=-m²+（a+2）m+1-a²，f（x）有3个零点，根据m=|t|=|e^x-1|，可得f（m）的一根在（0，1），另一根在[1，+∞），由此，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：令t=e^x-1，e^x=t+1，f（t）=1-t²+（a+2）|t|-a²，
令m=|t|=|e^x-1|，则f（m）=-m²+（a+2）m+1-a²，
∵f（x）有3个零点，
∴根据m=|t|=|e^x-1|，可得f（m）的一根在（0，1），另一根在[1，+∞），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=1-{a}^{2}＜0}\\{f（1）=a+2-{a}^{2}≥0}\end{array}\right.$
∴a∈（1，2]．
故答案为（1，2]．

点评 本题考查实数a的取值范围，考查函数的零点，考查方程根的研究，正确转化是关键．