Question

已知点P为双曲线右支上一点，F₁，F₂为双曲线的左、右焦点．O为坐标原点，若且△PF₁F₂的面积为2ac（c为双曲线半焦距）则双曲线的离心率为    ．

Answer 1

【答案】分析：根据向量数量积的运算性质，可得||=||，得△PF₁F₂是以P为直角顶点的直角三角形．由双曲线的定义结合勾股定理，算出S_△PF1F2=c²-a²=2ac，将其转化为关于离心率e的方程，解之即可得到该双曲线的离心率．
解答：解：∵=
∴==0
可得||=||=||，所以△PF₁F₂是以P为直角顶点的直角三角形
∵||-||=±2a
∴（||-||）²=||²-2||•||+||²=4a²
∵||²+||²=4c²，||•||=2S_△PF1F2，
∴4c²-4S_△PF1F2=4a²，得S_△PF1F2=c²-a²
∵由题意△PF₁F₂的面积为2ac，
∴c²-a²=2ac，两边都除以a²，得-1=2•
整理，得e²-2e-1=0，解之得e=1（舍负）
故答案为：1+
点评：本题给出双曲线的焦点三角是直角三角形，求该双曲线的离心率，着重考查了双曲线的简单几何性质、双曲线的离心率定义及其求法等知识，属于中档题．