Question

3．三棱锥P-ABC，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=PC=$\sqrt{2}$，此三棱锥的内切球的半径为$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 利用三棱锥P-ABC的内切球的球心，将三棱锥分割成4个三棱锥，利用等体积，即可求得结论．

解答 解：由题意，设三棱锥P-ABC的内切球的半径为r，球心为O，
则由等体积V_B-PAC=V_O-PAB+V_O-PAC+V_O-ABC
可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=3×$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×r$+$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×r$，
∴r=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查三棱锥P-ABC的内切球，考查学生分析转化问题的能力，正确求体积是关键．