Question

2．已知二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0，a，b为常数）满足f（1-x）=f（1+x），且方程f（x）=2x有两个相等实根；设g（x）=$\frac{1}{3}$x³-x-f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求g（x）在[0，3]上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的对称轴得到-$\frac{b}{2a}$=1，根据方程f（x）=2x有两个相等实根，求出b的值，从而求出a的值，求出函数的表达式；
（Ⅱ）求出g（x）的解析式，根据函数的单调性求出函数的单调区间，从而求出函数在闭区间上的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0，a，b为常数）满足f（1-x）=f（1+x），
故对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=1①，
方程f（x）=2x有两个相等实根，即ax²+（b-2）x=0有两个相等实根，
故△=（b-2）²=0，解得：b=2，
将b=2代入①，解得：a=-1，
故f（x）=-x²+2x；
（Ⅱ）g（x）=$\frac{1}{3}$x³-x-f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²-3x，
g′（x）=x²+2x-3=（x+3）（x-1），
令g′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-3，
令g′（x）＜0，解得：-3＜x＜1，
∴g（x）在（-∞，-3）递增，在（-3，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴g（x）在[0，1）递减，在（1，3]递增，
∴g（x）_最小值=g（1）=-$\frac{5}{3}$，而g（0）=0，g（3）=9，故g（x）_最大值=9．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．