Question

15．已知数列{a_n}是等差数列，前n项和为 S_n且满足a₃-a₁=4，S₃=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式； 
（2）设b_n=a_n•2^n-1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）令n=1，求出首项，再由当n≥2时，2a_n=2S_n-2S_n-1，即可得到a_n=a_n-1+1，由等差数列的通项公式，即可得到通项；
（2）运用数列的求和方法：错位相减法，注意运用等比数列的求和公式，化简整理，即可得到．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}为d，
∵a₃-a₁=4，S₃=12，
∴2d=4，3a₁+3d=12，
解得a₁=2，d=2，
故a_n=2+2（n-1）=2n；
（2）b_n=a_n•2^n-1=n•2ⁿ，
则T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②得，-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2•（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹
则T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查数列的通项和前n项和的关系，考查等差数列的通项公式及等比数列的求和公式，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．