Question

5．函数y=sinx和y=cosx在x=$\frac{π}{4}$处的两条切线与x轴围成封闭区域D，点（x，y）∈D，则x+2y的最小值为$\frac{π}{4}$-1．

Answer 1

分析 求出函数的导数，求得切线的斜率和方程，作出两切线，可得三角形的区域，作出直线l₀：x+2y=0，平移l₀，即可得到所求最小值．

解答 解：函数y=sinx的导数为y′=cosx，
可得在x=$\frac{π}{4}$处的切线斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，切点为（$\frac{π}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
方程为y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-$\frac{π}{4}$），
即为y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}π}{8}$；
函数y=cosx的导数为y′=-sinx，
可得在x=$\frac{π}{4}$处的切线方程为y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-$\frac{π}{4}$），
即为y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}π}{8}$．
作出两切线，可得区域D，作出直线l₀：x+2y=0，
平移l₀，可得通过点A（$\frac{π}{4}$-1，0），x+2y取得最小值，且为$\frac{π}{4}$-1．
故答案为：$\frac{π}{4}$-1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及目标函数的最值的求法：平移法，考查数形结合的思想方法，属于中档题．