Question

1．已知数列{a_n}为等差数列，a₁=1，a_n＞0，其前n项和为S_n，且数列$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$也为等差数列，设b_n=$\frac{{a}_{n+2}}{{2}^{n}•{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，则数列{b_n}的前n项和T_n=1-$\frac{1}{{2}^{n}•（2n+1）}$．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d（d≥0），数列$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$为等差数列，取前3项成等差数列，解方程可得d=2，运用等差数列的通项公式和求和公式，可得a_n，求得b_n=$\frac{{a}_{n+2}}{{2}^{n}•{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{2n+3}{{2}^{n}•（2n-1）•（2n+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}•（2n-1）}$-$\frac{1}{{2}^{n}•（2n+1）}$，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d（d≥0），
∵$\sqrt{S_1}=1$，$\sqrt{S_2}=\sqrt{2+d}$，$\sqrt{S_3}=\sqrt{3+3d}$成等差数列，
∴$2\sqrt{2+d}=1+\sqrt{3+3d}$，解得d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，$\sqrt{{S}_{n}}$=n，故数列$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$为等差数列，
b_n=$\frac{{a}_{n+2}}{{2}^{n}•{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{2n+3}{{2}^{n}•（2n-1）•（2n+1）}$
=$\frac{1}{{2}^{n-1}•（2n-1）}$-$\frac{1}{{2}^{n}•（2n+1）}$，
则前n项和T_n=$\frac{1}{{2}^{0}•1}$-$\frac{1}{{2}^{1}•3}$+$\frac{1}{{2}^{1}•3}$-$\frac{1}{{2}^{2}•5}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}•（2n-1）}$-$\frac{1}{{2}^{n}•（2n+1）}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}•（2n+1）}$．
故答案为：1-$\frac{1}{{2}^{n}•（2n+1）}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题，