Question

在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v（米/单位时间），单位时间内用氧量为cv²（c为正常数）；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为（米/单位时间），单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y．
（1）将y表示为v的函数；
（2）设0＜v≤5，试确定下潜速度v，使总的用氧量最少．

Answer 1

【答案】分析：（1）分别计算潜入水底用时、用氧量；水底作业时用氧量；返回水面用时、用氧量，即可得到总用氧量的函数；
（2）利用基本不等式可得时取等号，再结合0＜v≤5，即可求得确定下潜速度v，使总的用氧量最少．
解答：解：（1）潜入水底用时，用氧量为，水底作业时用氧量为5×0.4=2，返回水面用时，用氧量为=，
∴总用氧量y=（v＞0）；
（2）y=≥2+2=2+12，当且仅当，即时取等号
当≤5，即时，时，y的最小值为2+12，
当＞5，即时，y′=0，
∴函数在（0，5]上为减函数
∴v=5时，y的最小值为．
综上，当时，下潜速度为时，用氧量最小值为2+12；
当时，下潜速度为5时，用氧量最小值为．
点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查导数知识，考查分类讨论的数学思想．