Question

6．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=3a_n-1（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂及数列{a_n]的通项公式；
（2）已知数列{b_n}满足b_n=log₃a_2n，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过2S_n=3a_n-1与2S_n-1=3a_n-1-1（n≥2）作差，进而整理可知数列{a_n]是首项为1、公比为3的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）及对数性质可知b_n=2n-1，从而数列{b_n}是首项为1、公差为2的等差数列，利用等差数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：（1）∵2S_n=3a_n-1，2S_n-1=3a_n-1-1（n≥2），
两式相减得：2a_n=3a_n-3a_n-1，即a_n=3a_n-1，
又∵2S₁=3a₁-1，即a₁=1，
∴数列{a_n]是首项为1、公比为3的等比数列，
∴其通项公式a_n=3^n-1；
（2）由（1）可知b_n=log₃a_2n=log₃3^2n-1=2n-1，
于是数列{b_n}是首项为1、公差为2的等差数列，
∴T_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．