Question

6．设函数$f（x）=\frac{lnx}{x}$
（1）求f（x）的单调区间与极值；
（2）比较1.71^2.71与2.71^1.71的大小，并说明理由
（3）证明当x∈（0，2）时，$f（{x+1}）＜\frac{9x}{{{x^2}+7x+6}}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{{\sqrt{x+1}}}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性判断即可；
（3）原不等式?ln（x+1）＜$\frac{9x}{x+6}$-$\sqrt{x+1}$+1，x∈（0，2），令g（x）=ln（x+1）+$\sqrt{x+1}$-$\frac{9x}{x+6}$-1，x∈（0，2），根据函数的单调性证明即可．

解答 （1）解：f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0得x=e，
当x∈（0，e）时f′（x）＞0，
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的递增区间为（0，e），递减区间为（e，+∞），
f（x）_极大值=f（e）=$\frac{1}{e}$，无最小值；
（2）解：由（1）知f（x）在（0，e）上递增，
而1.71＜2.71，∴$\frac{ln1.71}{1.71}$＜$\frac{ln2.71}{2.71}$，∴1.71^2.71＜2.71^1.71，
 （3）证明：原不等式?ln（x+1）＜$\frac{9x}{x+6}$-$\sqrt{x+1}$+1，x∈（0，2），
令g（x）=ln（x+1）+$\sqrt{x+1}$-$\frac{9x}{x+6}$-1，x∈（0，2），
则g′（x）=$\frac{{\frac{1}{2}（x+6）}^{3}-108（x+1）}{2（x+1{）（x+6）}^{2}}$，
令h（x）=$\frac{1}{2}$（x+6）³-108（x+1），x∈（0，2），
则h′（x）=$\frac{3}{2}$（x+6）²-108＜0，∴h（x）单调递减，
∴h（x）＜h（0）=0，∴g′（x）＜0，
∴g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0，
∴ln（x+1）＜$\frac{9x}{x+6}$-$\sqrt{x+1}$+1，
即$f（{x+1}）＜\frac{9x}{{{x^2}+7x+6}}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{{\sqrt{x+1}}}$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查数的大小比较以及不等式的证明，是一道综合题．