Question

3．已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=$\frac{1}{2}$CD=2，E为DC中点，连接AE，将△DAE沿AE翻折到△D₁AE．
（1）证明：BD₁⊥AE；
（2）若CD₁=$\sqrt{10}$，求二面角D₁-AB-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AE中点H，推导出D₁H⊥AE，BH⊥AE，从而AE⊥面HBD₁，由此能求出BD₁⊥AE．
（2）以AE中点H为原点，HA为x轴，HB为y轴，过H作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角D₁-AB-C的平面角的余弦值．

解答 证明：（1）取AE中点H，
∵AD₁=AE=D₁E，AB=AE=BE，
∴D₁H⊥AE，BH⊥AE，
∵D₁H∩BH=H，∴AE⊥面HBD₁，
∵BD₁?平面HBD₁，∴BD₁⊥AE．
解：（2）以AE中点H为原点，HA为x轴，HB为y轴，
过H作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
设二面有D₁-AE-D的平面角的大小为θ，
A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），D₁（0，-$\sqrt{3}cosθ$，$\sqrt{3}sinθ$），C（-2，$\sqrt{3}$，0），
CD₁=$\sqrt{4+（-\sqrt{3}cosθ-\sqrt{3}）^{2}+（\sqrt{3}sinθ）^{2}}$=$\sqrt{10}$，解得$θ=\frac{π}{2}$，
∴D₁（0，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（0，-$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
设平面ABD₁的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{D}_{1}}=-\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，1$），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角D₁-AB-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角D₁-AB-C的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．