Question

19．已知函数f（x）=$\frac{3x}{ax+b}$，f（1）=1，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$，数列{x_n}满足x₁=$\frac{3}{2}$，x_n+1=f（x_n），n∈N*
（Ⅰ）求x₂，x₃
（Ⅱ）求数列{x_n}的通项公式．
（Ⅲ）求证：$\sum_{k=1}^{n}\frac{{x}_{k}}{{3}^{k}}$＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（1）=1，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$，求出函数的解析式f（x）=$\frac{3x}{2x+1}$，然后求解x₂，x₃．
（Ⅱ）通过x_n+1=f（x_n）=$\frac{3{x}_{n}}{2{x}_{n}+1}$，推出数列{$\frac{1}{{x}_{n}}-1$}是以$-\frac{1}{3}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，然后求解数列{x_n}的通项公式．
（Ⅲ）x_n=$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}-1}$．可得$\frac{{x}_{n}}{{3}^{n}}=\frac{1}{{3}^{n}-1}$，推出$\frac{{x}_{k}}{{3}^{k}}$=$\frac{1}{{3}^{k}-1}$≤$\frac{1}{2•{3}^{k-1}}（k∈{N}^{+}）$，利用等比数列求和化简证明即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\frac{3x}{ax+b}$，f（1）=1，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$，可得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{a+2b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}\right.$，
f（x）=$\frac{3x}{2x+1}$，x₂=f（x₁）=f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{8}$，x₃=f（x₂）=f（$\frac{9}{8}$）=$\frac{27}{26}$．
（Ⅱ）x_n+1=f（x_n）=$\frac{3{x}_{n}}{2{x}_{n}+1}$，$\frac{1}{{x}_{n+1}}=\frac{2{x}_{n}+1}{3{x}_{n}}$=$\frac{1}{3}•\frac{1}{{x}_{n}}+\frac{2}{3}$，
$\frac{1}{{x}_{n+1}}-1=\frac{1}{3}（\frac{1}{{x}_{n}}-1）$，
∴数列{$\frac{1}{{x}_{n}}-1$}是以$-\frac{1}{3}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
所以$\frac{1}{{x}_{n}}-1=-\frac{1}{{3}^{n}}$，
数列{x_n}的通项公式．x_n=$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}-1}$．
（Ⅲ）证明：x_n=$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}-1}$．可得$\frac{{x}_{n}}{{3}^{n}}=\frac{1}{{3}^{n}-1}$，3ⁿ-1=3•3^n-1-1=2•3^n-1+3^n-1-1≥2•3^n-1，
∴$\frac{{x}_{k}}{{3}^{k}}$=$\frac{1}{{3}^{k}-1}$≤$\frac{1}{2•{3}^{k-1}}（k∈{N}^{+}）$，
∴$\sum_{k=1}^{n}\frac{{x}_{k}}{{3}^{k}}$≤$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{3}^{n-1}}）$=$\frac{1}{2}•\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{4}•（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列与函数的综合应用，数列求和，数列递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．