Question

2．下列命题为真命题的个数是（　　）
①e${\;}^{\frac{2}{e}}$＞2；②ln2＞$\frac{2}{3}$；③$\frac{lnπ}{π}$＜$\frac{1}{e}$；④$\frac{ln2}{2}$＜$\frac{lnπ}{π}$．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①利用分析法和构造函数，利用导数和函数的最值得关系即可判断，②根据对数的运算性质即可判断，③利用分析法和构造函数，④两边取对数即可判断．

解答 解：对于①，设f（x）=elnx-x，x＞0，∴f′（x）=$\frac{e}{x}$-1=$\frac{e-x}{x}$，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＞e时，f′（x）＜0，函数单调递减，
∴f（x）＜f（e）=elne-e=0，∴f（2）=eln2-2＜f（e）=0，即2＞eln2，e${\;}^{\frac{2}{e}}$＞2，故①正确；
对于②，∵8＞e² ∴ln8＞lne²．∴3ln2＞2，ln2＞$\frac{2}{3}$；因此正确，
对于③，设g（x）=$\frac{lnx}{x}$，g$′（x）=\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数单调递增，
当x＞e时，f′（x）＜0，函数单调递减，
∵e＜π，∴g（e）＞g（π），即$\frac{lnπ}{π}$＜$\frac{1}{e}$；故③正确．
对于④，∵2^π＜π²，∴$\frac{ln2}{2}$＜$\frac{lnπ}{π}$．，④正确；
正确的命题的个数为4个，
故选：D．

点评 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．