Question

1．已知点（x，y）是不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x+y≤4}\\{ax+by+c≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域内的一个动点，且目标函数z=2x+y的最大值为7，最小值为1，则$\frac{a-b+c}{a}$=0．

Answer 1

分析 根据题意，作出不等式组表示的三角形区域如图，再将直线l：z=2x+y进行平移，可得使z取得最小值1的点A坐标为（1，-1），取得最大值7的点B坐标为（3，1），最后将A、B坐标代入第三个不等式对应的直线方程，可得b=-a，c=-2a，从而求出目标函数的值．

解答 解：∵目标函数z=2x+y在不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x+y≤4}\\{ax+by+c≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域内既有最大值，也有最小值，
不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x+y≤4}\\{ax+by+c≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域是一个三角形区域（含边界）
作出可行域如右图，将直线l：z=2x+y，即y=-2x+z进行平移，可得
当l经过直线x=1和ax+by+c=0的交点A（1，y₀）时，z取得最小值1；
当l经过直线x+y=4和ax+by+c=0的交点B时，z取得最大值7．
∴1×2+y₀=1，解之得y₀=-1且$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{2x+y=7}\end{array}\right.$，解之得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
因此，A的坐标为（1，-1），B的坐标为（3，1），代入不等式第三式对应直线，
可得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{3a+b+c=0}\end{array}\right.$，所以b=-a，c=-2a，可得$\frac{a-b+c}{a}$=0
故答案为：0．

点评 本题给出一个待定的平面区域，在已知目标函数的最值时求字母参数的比值，着重考查了简单线性规划的应用的知识，属于中档题．