Question

3．已知函数f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递减区间；
（3）若函数g（x）=f（x）-k在（0，$\frac{π}{3}$]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．
（2）根据函数的解析式，利用正弦函数的单调性，求得f（x）的减区间．
（3）由题意可得函数f（x）的图象和直线y=k有2个不同的交点，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域，数形结合求得k的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x
=2（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
故它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）由令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
求得kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，
所以f（x）的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．
（3）函数g（x）=f（x）-k在（0，$\frac{π}{3}$]上有两个不同的零点，
即函数f（x）的图象和直线y=k有2个不同的交点．
∵在（0，$\frac{π}{3}$]上，2x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，π]，f（x）∈[0，2]，
结合f（x）的图象可得k∈（$\sqrt{3}$，2）．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的图象，属于中档题．