Question

已知函数定义在上，对任意的，，且．

（1）求，并证明：；

（2）若单调，且．设向量，，对任意，恒成立，求实数的取值范围．

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）抽象函数求值可以采用赋值法；证明问题，可以采用构造法；

（2）因为单调，可先用特殊值法确定其增减性，从而将恒成立转化为恒成立，其中；然后令，通过换元法最终转化为函数的最值问题．

试题解析：解:（1）令得，又∵，， 2分

由得=，

∵，∴． 5分

（2）∵，且是单调函数，∴是增函数． 6分

而，∴由，得，

又∵因为是增函数，∴恒成立，．

即． 8分

令，得 （﹡）．

∵，∴，即．

令， 10分

①当，即时，只需，（﹡）成立，

∴，解得； 11分

②当，即时，只需，（﹡）成立，

∴，解得，∴． 12分

③当，即时，只需，（﹡）成立，

∴， ∴，

综上，．

考点：1、抽象函数；2、平面向量的数量积；3、换元法；4、等价转化的思想和分类讨论的思想．