Question

（3分）设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为 ．

 

Answer 1

4．

【解析】

试题分析：弦求出f′（x）=0时x的值，进而讨论函数的增减性得到f（x）的最小值，对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，可转化为最小值大于等于0即可求出a的范围．

【解析】
由题意，f′（x）=3ax2﹣3，

当a≤0时3ax2﹣3＜0，函数是减函数，f（0）=1，只需f（1）≥0即可，解得a≥2，与已知矛盾，

当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣3=0解得x=±，

①当x＜﹣时，f′（x）＞0，f（x）为递增函数，

②当﹣＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）为递减函数，

③当x＞时，f（x）为递增函数．

所以f（ ）≥0，且f（﹣1）≥0，且f（1）≥0即可

由f（ ）≥0，即a•﹣3•+1≥0，解得a≥4，

由f（﹣1）≥0，可得a≤4，

由f（1）≥0解得2≤a≤4，

综上a=4为所求．

故答案为：4．