Question

3．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x³-ax²-2bx在x=1处有极值，则$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{4}{9}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，由极值的定义可得f′（1）=0，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值，注意等号成立的条件．

解答 解：函数f（x）=4x³-ax²-2bx的导数为f′（x）=12x²-2ax-2b，
由函数f（x）=4x³-ax²-2bx在x=1处有极值，可得
f′（1）=0，即12-2a-2b=0，即为a+b=6，（a，b＞0），
则$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{6}$（a+b）（$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$）
=$\frac{1}{6}$（5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$）≥$\frac{1}{6}$•（5+2$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}{b}}$）=$\frac{1}{6}$•（5+4）=$\frac{3}{2}$．
当且仅当$\frac{4b}{a}$=$\frac{a}{b}$，即有a=2b=4时，取得最小值$\frac{3}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查导数的运用：判断极值，基本不等式的运用：求最值，注意运用乘1法，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．