Question

4．已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（-1，2）上有唯一实数根，求实数的取值范围（注：相等的实数根算一个）．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1，利用待定系数法，可得f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（-1，2）上有唯一实数根，则函数h（x）在（-1，2）上有唯一的零点，分类讨论，可得实数m的取值范围．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），代入f（x+1）-f（x）=2x，
得2ax+a+b=2x，对于x∈R恒成立，故$\left\{{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\end{array}}\right.$，又由f（0）=1，得c=1，
解得a=1，b=-1，c=1，∴f（x）=x²-x+1．
（2）由方程f（x）=x+m得x²-2x+1-m=0，令h（x）=x²-2x+1-m，x∈（-1，2），
即要求函数h（x）在（-1，2）上有唯一的零点，
①h（-1）=0，则m=4，代入原方程得x=-1或3，不符合题意；
②若h（2）=0，则m=1，代入原方程得x=0或2，满足题意，故m=1成立；
③若△=0，则m=0，代入原方程得x=1，满足题意，故m=0成立；
④若m≠4且m≠1且m≠0时，由$\left\{{\begin{array}{l}{h（-1）=4-m＞0}\\{h（2）=1-m＜0}\end{array}}\right.$得1＜m＜4．
综上，实数m的取值范围是{0}∪[1，4）．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的零点，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．